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    • 思路分析
    • 代码实现
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常用查找

1. 顺序（线性）查找
2. 二分查找/折半查找
3. 插值查找
4. 斐波那契查按

线性查找

// 简单的线性查找，找到一个val就返回下标
public static int seqSearch(int[] arr, int val) {
    for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
        if (arr[i] == val) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

二分查找

前提：待查找数组有序

二分查找法的运行时间为对数时间O(logn)，即查找到需要的目标位置最多只需要logn步，假设从[0,99]的队列（100个数，即n=100）中寻到目标数30，则需要查找步数为log100，即最多需要查找7次($2^6 < 100 < 2^7$)

思路分析

递归实现思路：

1. 首先确定该数组的中间的下标 mid = (left+right) / 2
2. 然后让需要查找的数findval和arr[mid]比较
   2.1 findVal > arr[mid]，说明你要查找的数在mid的右边，因此需要递归的向右查找。
   2.2 findval < arr[mid]，说明你要查找的数在mid的左边，因此需要递归的向左查找。
   2.3 findval == arr[mid]说明找到，就返回
   什么时候我们需要结束递归？
   • 找到就结束递归
   • 递归完整个数组，仍然没有找到findval，也需要结束递归，当left > right就需要退出

代码实现

递归实现

// 二分查找，只返回第一个元素下标
public static int BinarySearch(int[] arr, int findVal, int left, int right) {
    // 未找到
    if (left > right) {
        return -1;
    }
    int mid = (left + right) / 2;
    if (findVal < arr[mid]) {
        return BinarySearch(arr, findVal, left, mid - 1);
    } else if (findVal > arr[mid]) {
        return BinarySearch(arr, findVal, mid + 1, right);
    } else {
        return mid;
    }
}
// 二分查找，返回所有元素的下标集合，这里用ArrayList存储，也可以用数组存储
public static List<Integer> BinaryMultiSearch(int[] arr, int findVal, int left, int right) {
    // 未找到
    if (left > right) {
        return null;
    }
    int mid = (left + right) / 2;
    if (findVal < arr[mid]) {
        return BinaryMultiSearch(arr, findVal, left, mid - 1);
    } else if (findVal > arr[mid]) {
        return BinaryMultiSearch(arr, findVal, mid + 1, right);
    } else {
        List<Integer> res = new ArrayList<>();
        res.add(mid);
        int temp = mid - 1;
        while (temp >= left && arr[temp] == findVal) {
            res.add(temp);
            temp--;
        }
        temp = mid + 1;
        while (temp <= right && arr[temp] == findVal) {
            res.add(temp);
            temp++;
        }
        return res;
    }
}

非递归实现

public class BinarySearch {
    public static void main(String[] args) {
        int[] arr = {1, 3, 8, 10, 11, 22, 23, 84};
        int index = binarySearch(arr, 84);
        System.out.println("下表为："+index);
    }

    // 二分查找的非递归实现
    public static int binarySearch(int[] arr, int target) {
        int left = 0;
        int right = arr.length - 1;
        while (left <= right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            if (target == arr[mid]) {
                return mid;
            } else if (target < arr[mid]) {
                right = mid - 1;
            } else if (target > arr[mid]) {
                left = mid + 1;
            }
        }
        return -1;
    }
}

插值查找

插值查找算法又称插值搜索算法，是在二分查找算法的基础上改进得到的一种查找算法。

插值查找算法只适用于有序序列，换句话说，它只能在升序序列或者降序序列中查找目标元素。作为“改进版”的二分查找算法，当有序序列中的元素呈现均匀分布时，插值查找算法的查找效率要优于二分查找算法；反之，如果有序序列不满足均匀分布的特征，插值查找算法的查找效率不如二分查找算法。

思路分析

1. 插值查找算法类似于二分查找，不同的是插值查找每次从自适应mid处开始查找。
2. 将二分查找中的求mid索引的公式，left表示左边索引，right表示右边索引，findVal表示待查找的值。

$mid = \frac{left+right}{2} = left+\frac{1}{2}(right-left) \Rightarrow mid = left + \frac{key-arr[low]}{arr[right]-arr[left]}(right-left)$

代码实现

// 插值查找，只返回第一个元素
public static int interpolationSearch(int[] arr, int findVal, int left, int right) {
    // 未找到，保证mid不越界
    if (left > right || findVal < arr[left] || findVal > arr[right]) {
        return -1;
    }
    //如果搜索区域内只有一个元素，判断其是否为目标元素
    if (left == right) {
        if (findVal == arr[left]) {
            return left;
        } else {
            return -1;
        }
    }
    int mid = left + (findVal - arr[left]) * (right - left) / (arr[right] - arr[left]);
    if (findVal < arr[mid]) {
        return interpolationSearch(arr, findVal, left, mid - 1);
    } else if (findVal > arr[mid]) {
        return interpolationSearch(arr, findVal, mid + 1, right);
    } else {
        return mid;
    }
}

斐波那契查找

斐波那契(黄金分割法)查找基本介绍：

1. 黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割，也称为中外比。这是一个神奇的数字，会带来意想不到的效果。
2. 斐波那契数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55}，发现斐波那契数列的两个相邻数的比例，无限接近黄金分割值0.618。
3. 前提：有序数组

思路分析

参考链接：

C语言版本
图解

斐波那契查找原理与前两种相似，仅仅改变了中间结点mid的位置，mid不再是中间或插值得到，而是位于黄金分割点附近，即mid=low+F(k-1)-1(F代表斐波那契数列），如下图所示

对F(k-1)-1的理解：

1. 由斐波那契数列F[k]=F[k-1]+F[k-2]的性质，可以得到(F[k]-1)=(F[k-1]-1)+(F[k-2]-1)+1。
   该式说明：只要顺序表的长度为F[k]-1，则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段，即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1。
2. 类似的，每一子段也可以用相同的方式分割。
3. 但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可，由以下代码得到，顺序表长度增加后，新增的位置（从n+1到F[k]-1位置），都赋为n位置的值即可。

   while(n > fib(k)-1){
      k++;
   }

   为什么要求n=F(k)-1

假如待查找数组长度为F(k)：
不考虑mid的情况下，左边为F(k-1)，右边为F(k-2)；
考虑mid的情况下，要不左边是F(k-1)-1或者右边是F(k - 2)-1，逻辑不好写。
 
但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1，所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。
这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可

代码实现

// 斐波那契查找（非递归实现）
public static int fibonacciSearch(int[] arr, int findVal) {
    int low = 0;
    int high = arr.length - 1;
    int k = 0; // 表示斐波那契分割数值的下标
    int mid = 0;
    // 定义斐波那契数列
    int[] F = fib();
    // 确定斐波那契分割数值的下标
    while (high > F[k] - 1) {
        k++;
    }
    // 使数列长度为斐波那契数小一
    int[] temp = Arrays.copyOf(arr, F[k] - 1);
    for (int i = high + 1; i < F[k] - 1; i++) {
        temp[i] = arr[high];
    }
    arr = temp;
    // 开始循环查找
    while (low <= high) {
        mid = low + F[k - 1] - 1;
        if (findVal < arr[mid]) {
            high = mid - 1;
            k--;
        } else if (findVal > arr[mid]) {
            low = mid + 1;
            k -= 2;
        } else {
            // 因为数组扩大了，mid可能存在大于high的情况
            return Math.min(mid, high);
        }
    }
    return -1;
}

总结

斐波那契查找算法只进行加减法，而二分查找需要用到除法（在计算机中乘除法都要转成加法运算，因为计算机只能进行加法运算，所以乘除法很耗时间），所以斐波那契查找效率高于二分查找，但是它们的时间复杂度都为 $O(log(n))$