图
本文最后更新于：2022年12月13日 晚上
图
图的基本介绍
为什么要有图
（1）线性表局限于一个直接前驱和一个直接后继的关系
（2）树也只能有一个直接前驱也就是父节点
（3）当我们需要表示多对多的关系时，这里我们就用到了图
图的常用概念
图是一种数据结构，其中结点可以具有零个或多个相邻元素。两个结点之间的连接称为边。结点也可以称为顶点。
（1）顶点(vertex)
（2）边(edge)
（3）路径
（4）无向图：顶点之间的连接没有方向
（5）有向图：顶点之间的连接有方向
（6）带权图：边上带权值，也叫网。
图的表示方式
图的表示方式有两种：
二维数组表示（邻接矩阵）
链表表示（邻接表）
邻接矩阵
邻接矩阵是表示图形中顶点之间相邻关系的矩阵，对于n个顶点的图而言，矩阵是的row和col表示的是1..….n个点。
邻接表
（1）邻接矩阵需要为每个顶点都分配n个边的空间，其实有很多边都是不存在，会造成空间的一定损失。
（2）邻接表的实现只关心存在的边，不关心不存在的边。因此没有空间浪费，邻接表由数组+链表组成。
构建图
构建图的实现思路
（1）用ArrayList存储顶点
（2）用二维数组存储路径
构建图的代码实现
import java.util.ArrayList;
import java.util.Arrays;
public class Graph {
public static void main(String[] args) {
int n = 5;
String[] vertexes = {"A", "B", "C", "D", "E"};
Graph graph = new Graph(n);
for (String vertex : vertexes) {
graph.insertVertex(vertex);
}
graph.insertEdges(0, 1, 1);
graph.insertEdges(0, 2, 1);
graph.insertEdges(1, 2, 1);
graph.insertEdges(1, 3, 1);
graph.insertEdges(1, 4, 1);
graph.showGraph();
}
private ArrayList<String> vertexList;
private int[][] edges;
private int numOfEdges;
public Graph(int n) {
vertexList = new ArrayList<>();
edges = new int[n][n];
}
public int getVertex() {
return vertexList.size();
}
public int getNumOfEdges() {
return numOfEdges;
}
public int getWeight(int v1, int v2) {
return edges[v1][v2];
}
public String getValueByIndex(int index) {
return vertexList.get(index);
}
public void showGraph() {
for (int[] row : edges) {
System.out.println(Arrays.toString(row));
}
}
public void insertVertex(String vertex) {
vertexList.add(vertex);
}
public void insertEdges(int v1, int v2, int weight) {
edges[v1][v2] = weight;
edges[v2][v1] = weight;
numOfEdges++;
}
}图的遍历
所谓图的遍历，即是对结点的访问。一个图有那么多个结点，如何遍历这些结点，需要特定策略，一般有两种访问策略：
- 深度优先遍历
- 广度优先遍历
深度优先遍历基本思想
图的深度优先搜索(Depth First Search)
深度优先遍历，从初始访问结点出发，初始访问结点可能有多个邻接结点，深度优先遍历的策略就是首先访问第一个邻接结点，然后再以这个被访问的邻接结点作为初始结点，访问它的第一个邻接结点，可以这样理解：每次都在访问完当前结点后首先访问当前结点的第一个邻接结点。
我们可以看到，这样的访问策略是优先往纵向挖掘深入，而不是对一个结点的所有邻接结点进行横向访问。
显然，深度优先搜索是一个递归的过程
深度优先遍历实现思路
（1）首先选择一个起始结点
（2）遍历起始点的第一个邻接结点
（3）如果这个邻接结点存在，则转（4），否则从初始结点的下一个结点开始
（4）如果这个邻接结点没被访问过，则将此结点作为初始结点进行递归。
（5）查找初始结点的邻接结点的下一个邻接结点，这一步实际实现了回溯。
深度优先遍历代码实现
获得邻接结点的方法
// 获得 i的邻接结点
public int getFirstNeighbor(int index) {
for (int i = 0; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[index][i] > 0)
return i;
}
return -1;
}
// 获得 i的邻接结点的下一个结点
public int getNextNeighbor(int v1, int v2) {
for (int i = v2 + 1; i < vertexList.size(); i++) {
if (edges[v1][i] > 0)
return i;
}
return -1;
}广度优先遍历
// 广度优先遍历
private void BFS(int i, boolean[] isVisited) {
int u; // 队列头节点的下标
int w; // 邻接结点
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
isVisited[i] = true;
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
u = queue.removeFirst();
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
isVisited[w] = true;
queue.addLast(w);
}
w = getNextNeighbor(u, w);
}
}
}
public void BFS() {
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
BFS(i, isVisited);
}
}
}广度优先遍历基本思想
图的广度优先搜索(Broad First Search)。
类似于一个分层搜索的过程，广度优先遍历需要使用一个队列以保持访问过的结点的顺序，以便按这个顺序来访问这些结点的邻接结点。
广度优先遍历实现思路
（1）访问初始结点v并标记结点v为已访问。
（2）结点v入队列
（3）当队列非空时，继续执行，否则算法结束。
（4）出队列，取得队头结点u。
（5）查找结点u的第一个邻接结点w。
（6）若结点u的邻接结点w不存在，则转到步骤3；否则循环执行以下三个步骤：
（6.1）若结点w尚未被访问，则访问结点w并标记为已访问。
（6.2）结点w入队列
（6.3）查找结点u的继w邻接结点后的下一个邻接结点w，转到步骤6。
广度优先遍历代码实现
private void BFS(int i, boolean[] isVisited) {
int u; // 队列头节点的下标
int w; // 邻接结点
System.out.print(getValueByIndex(i) + "->");
isVisited[i] = true;
LinkedList<Integer> queue = new LinkedList<>();
queue.addLast(i);
while (!queue.isEmpty()) {
u = queue.removeFirst();
w = getFirstNeighbor(u);
while (w != -1) {
if (!isVisited[w]) {
System.out.print(getValueByIndex(w) + "->");
isVisited[w] = true;
queue.addLast(w);
}
w = getNextNeighbor(u, w);
}
}
}
public void BFS() {
isVisited = new boolean[getNumOfVertex()];
for (int i = 0; i < getNumOfVertex(); i++) {
if (!isVisited[i]) {
BFS(i, isVisited);
}
}
}